Заказать задачи по теоретической механике или математике

При решении задач, приведенных в этой главе, необходимо использовать не две оси координат, которые всегда можно расположить в одной плоскости – в плоскости рисунка, иллюстрирующего задачу, а три взаимно перпендикулярные оси.

Эти оси нельзя расположить в одной плоскости и при изображении пространственной системы сил на рисунке надо использовать одну из принятых в машиностроительном черчении аксонометрических проекций (ГОСТ 2.305–68. Изображения – виды, разрезы, сечения).

На рис. 145 показано изображение трех взаимно перпендикулярных плоскостей в изометрической проекции. Пересечение двух вертикальных плоскостей определяет положение вертикальной оси z, пересечением обеих вертикальных плоскостей с горизонтальной определяются положения двух горизонтальных осей х и у.

На рис. 146 представлены те же три взаимно перпендикулярные плоскости в диметрической проекции, а на рис. 147 – в фронтальной диметрическои проекции. На каждом рисунке справа показано положение осей при изображении соответствующей проекции.

Если при решении задач, в которых рассматривается пространственная система сил, трудно представить взаимное расположение сил или их расположение относительно выбранных осей координат, то следует изготовить из плотной бумаги модель трех пересекающихся под прямым углом плоскостей, а линии пересечения плоскостей выделить цветными линиями и обозначить их соответственно х, у и z. В такой модели трех взаимно перпендикулярных осей можно помещать модели систем сил, рассматриваемых в задаче, изготовленные из пластилина, проволочек и спичек.

§ 18. Правило параллелепипеда сил

Простейшую пространственную систему сходящихся сил образуют три силы, приложенные к одной точке.

Для сложения таких трех сил применяется правило параллелепипеда (рис. 148). Если даны силы P₁, P₂ и P₃, то заменяющая их действие равнодействующая R по модулю и направлению соответствует диагонали АЕ параллелепипеда, ребра которого AB, АС и AD соответствуют трем силам.

В частном случае, который наиболее характерен для решения практических задач, три данные силы P₁, P₂ и P₃ взаимно перпендикулярны и тогда при их сложении образуется прямоугольный параллелепипед (рис. 149).

В этом случае модуль равнодействующей
R = sqrt(P₁² + P₂² + P₃²)
а направление R относительно каждой из составляющих сил можно найти по формулам
cos α₁ = P₁/R; cos α₂ = P₂/R; cos α₃ = P₃/R.

Так же как и правило параллелограмма (см. § 1, 5 и 6), правило параллелепипеда можно использовать не только при сложении сил, но и при разложении данной силы на три составляющие. Наиболее часто производят разложение силы на составляющие, действующие по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

§ 19. Проекция силы на три взаимно перпендикулярные оси. Определение равнодействующей системы пространственных сил, приложенных к точке

Если требуется определить проекции силы Р на три взаимно перпендикулярные оси (рис. 152), то обычно силу проектируют сначала на одну из плоскостей (например, горизонтальную), а уже затем на оси, расположенные в этой плоскости. При этом нужно обратить внимание на то, что в отличие от проекций силы на оси, являющихся скалярами, проекция силы на плоскость (P_xy на рис. 152) – величина векторная.

Легко заметить, что на трех взаимно перпендикулярных проекциях можно построить прямоугольный параллелепипед, диагональю которого является проектируемый вектор.

Из рис. 152 видно, что проекция на горизонтальную плоскость
P_xy = P cos α,
поэтому
X = P cos α cos α_x; Y = P cos α cos α_y и Z = P cos φ_z.

Если же известны углы φ_x и φ_y (на рисунке они не показаны), образуемые вектором Р с осями х и у, то его проекции на эти оси соответственно равны
X = P cos φ_x и Y = P cos φ_y.

При помощи проекций сил на три оси легко определить равнодействующую системы сил, приложенных к точке.

Для этого необходимо:

1) выбрать расположение осей так, чтобы проекции всех сил определились простейшим образом;

2) найти проекции всех сил на каждую из осей;

3) сложить проекции всех сил на каждую из осей и найти таким образом три проекции искомой равнодействующей на оси:
X_R = ∑ X_i; Y_R = ∑ Y_i и Z_R = ∑ Z_i;

4) определить модуль равнодействующей R:
R = sqrt(X_R² + Y_R² + Z_R²);

5) определить направление равнодействующей, найдя какие-либо два угла из трех:
cos φ_x = X_R/R; cos φ_y = Y_R/R; cos φ_z = Z_R/R.

§ 20. Равновесие пространственной системы сходящихся сил

Если система сходящихся сил уравновешена, то ее равнодействующая R=0, а это означает, что и проекции равнодействующей на три взаимно перпендикулярные оси равны нулю (X_R=0, Y_R=0, Z_R=0). Отсюда образуются три уравнения равновесия:
∑ X_i = 0;
∑ Y_i = 0;
∑ Z_i = 0.

При помощи этих уравнений и решаются задачи на равновесие пространственной системы сходящихся сил.

Уравнений равновесия – три, следовательно, статически определимой является такая пространственная система сходящихся сил, в которой неизвестных сил не более трех.

§ 21. Момент силы относительно оси

Чтобы определить момент силы Р относительно заданной или выбранной оси, например оси z (рис. 157), необходимо выполнить следующие операции:

1) расположить плоскость Н перпендикулярно оси z;

2) определить проекцию силы Р на плоскость H – найти P_H;

3) из точки пересечения оси с плоскостью (из точки О) провести перпендикуляр к направлению проекции P_H и определить длину этого перпендикуляра OA – плечо силы P_H;

4) определить знак момента, придерживаясь такого правила: посмотрим на плоскость Н со стороны положительного направления оси, если увидим, что проекция P_H поворачивает плечо против хода часовой стрелки, значит момент имеет положительный знак; а если проекция P_H поворачивает плечо по часовой стрелке (как это показано, например, на рис. 157), момент имеет отрицательный знак;

5) находим числовое значение момента силы Р относительно оси; для этого P_H – модуль проекции силы Р на плоскость, перпендикулярную к оси, умножаем на плечо OA.

Таким образом (см. рис. 157)
M_z(P) = -P_H * OA.

Момент силы относительно оси, так же как и момент силы относительно точки, измеряется по Международной системе (СИ) в ньютон-метрах (Н*м), а по технической системе (МКГСС) – в кГ*м.

Для успешного решения задач и облегчения составления уравнений моментов относительно осей нужно иметь в виду три частных случая, в которых момент силы относительно оси равен нулю (рис. 158):

Случай 1-й (рис. 158, а). Сила Р или линия ее действия пересекает ось; в этом случае плечо OA=0, поэтому P_H*OA=0.

Случай 2-й (рис. 158, б). Линия действия силы Р параллельна оси; в этом случае P_H=0, поэтому P_H*OA=0.

Случай 3-й (рис. 158, в). Линия действия силы Р совпадает с осью; в этом случае и P_H=0 и плечо OA=0.

§ 22. Равновесие произвольной пространственной системы сил

Произвольную пространственную систему сил, так же как и плоскую, можно привести к одной точке и заменить главным вектором R_гл и главным моментом M_гл. Только в этом случае линия действия главного вектора может находиться не в плоскости действия главного момента.

Если R_гл=0 и M_гл=0, то система сил уравновешена и отсюда образуется система шести уравнений равновесия:
∑ X_i = 0;
∑ Y_i = 0;
(1) ∑ Z_i = 0;
∑ M_x(P_i) = 0;
∑ M_y(P_i) = 0;
∑ M_z(P_i) = 0.

Первые три уравнения (уравнения проекций) получены из условия R_гл=0. Если главный вектор равен нулю, то и алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из осей также равны нулю.

Последние три уравнения (уравнения моментов) получены из условия M_гл=0. Если главный момент системы сил равен нулю, то алгебраические суммы моментов сил относительно каждой из осей равны нулю.

Для облегчения составления уравнений равновесия тело, равновесие которого рассматривается, целесообразно изображать вместе с действующими на него силами в проекциях на три основные плоскости, т. е. изображать вид спереди, вид сверху и один боковой вид – вид слева или вид справа (см. задачи 115, 116 и 117).

В частном случае линии действия сил, образующих пространственную систему, могут оказаться параллельными. Тогда одну из осей (например, ось z) выгодно расположить параллельно силам (рис. 160), а две другие оси расположатся в плоскости, перпендикулярной к линиям действия сил.

Легко понять, что для уравновешенной пространственной системы параллельных сил вместо шести уравнений можно составить лишь три: алгебраическую сумму проекций сил на ось, параллельную данным силам, и два уравнения моментов относительно двух других осей. Остальные уравнения превратятся в тождество вида 0=0.

В соответствии с расположением осей (см. рис. 160) уравнения равновесия имеют вид:
∑ Z_i = 0;
(2) ∑ M_x(P_i) = 0;
∑ M_y(P_i) = 0.

Для пространственной системы параллельных сил можно составить лишь три уравнения равновесия, поэтому, чтобы задача была статически определимой, в ней должно содержаться не более трех неизвестных сил.

Одной из типичных задач, в которых применяются уравнения равновесия пространственной системы сил, является задача определения реакций опор вала какой-либо машины.

Задачи этого типа можно решать так же, как задачи 115 или 116, т. е. при помощи проекций вала вместе с векторами заданных и искомых сил на три взаимно перпендикулярные плоскости. Но в некоторых случаях оказывается более рациональным несколько иной прием решения, основанный на приведении сил к оси вала. В качестве примера для такого решения возьмем вал одного из многочисленных видов редукторов (редуктором называется механическое устройство для передачи мощности от двигателя, вал которого вращается с большой скоростью, к рабочей машине, вал которой имеет скорость вращения, в несколько раз меньшую).