Заказать задачи по теоретической механике или математике

При решении задач, в которых рассматривается сложное движение точки или тела, необходимо уметь правильно расчленить сложное (составное), или так называемое абсолютное движение, на переносное и относительное. При расчленении сложного движения рекомендуется учитывать следующее.

Абсолютное (составное) движение происходит относительно неподвижной системы координат. Обычно эту систему координат связывают с Землей или с неподвижными относительно Земли предметами: зданием, деревом, полотном дороги и т. д.

Переносное движение точки или тела происходит вместе с некоторой материальной средой (телом), внутри или на поверхности которой находится рассматриваемое в задаче тело или рассматриваемая точка. Таким образом, переносное движение – это движение материальной среды вместе с точкой также относительно неподвижной системы координат.

Относительное движение точки или тела – это перемещение их внутри материальной среды, или по ее поверхности, независящее от движения самой материальной среды.

В тех случаях когда заданы движения двух (или более) тел (точек) относительно неподвижной системы координат и необходимо определить движение одного из этих тел относительно другого, удобно пользоваться теми же приведенными выше соображениями.

Тело, относительно которого требуется рассмотреть движение, мысленно остановим, а неподвижную систему координат заставим двигаться по его закону, но в обратном направлении. Тогда для второго тела это движение станет переносным, а движение второго тела – относительным. После этого очень просто понять, как будет двигаться второе тело по отношению к первому.

Этот последний прием использован при решении задач 177 и 184 и обычно его используют при рассмотрении планетарных механизмов.

Решение всех задач на сложное движение необходимо иллюстрировать рисунком.

§ 36. Сложение движений точки, когда переносное и относительное движения направлены вдоль одной прямой

При изучении сложного движения точки будем рассматривать только перемещение и скорость.

Если переносное и относительное движения направлены вдоль одной прямой, то:

а) перемещение точки в абсолютном движении равно алгебраической сумме перемещений в переносном и относительном движениях;

б) скорость точки в абсолютном движении равна алгебраической сумме переносной и относительной скоростей.

Условимся направление переносного перемещения и соответственно направление переносной скорости считать положительными. Тогда относительное перемещение и соответственно относительная скорость будут также положительными, если они направлены в ту же сторону, что и переносное. Если же относительное перемещение (и скорость) имеют направление, противоположное переносному, то будем считать их отрицательными.

Таким образом, при совпадении направлений переносного и относительного движений
s_абс = s_пер + s_отн и v_абс = v_пер + v_отн.

При противоположных друг другу направлениях переносного и относительного движений
s_абс = s_пер - s_отн и v_абс = v_пер - v_отн.

Задача 175. Вниз по течению реки равномерно плывет лодка, приводимая в движение гребным винтом от мотора. Скорость течения реки 4 км/ч, скорость лодки, сообщаемая...

Задача 177. Два автомобиля 1 и 2 движутся параллельно друг другу в одну и ту же сторону со скоростями v₁=80 км/ч и v₂=60 км/ч (рис. 212,...

Задача 179. Расстояние s=90 км между двумя пристанями, расположенными на реке, теплоход проходит без остановки в одном направлении (по течению) за t₁=3...

§ 37. Сложение движений точки, когда переносное и относительное движения направлены под углом друг к другу

Когда переносное и относительное движения направлены под углом друг к другу, то перемещения и скорости складываются геометрически.

Таким образом, абсолютная скорость точки v_абс определяется как геометрическая сумма векторов переносной v_пер и относительной v_отн скоростей:
(1) v_абс = v_отн + v_пер,
т. е. либо как диагональ параллелограмма, построенного на переносной и относительной скоростях (рис. 214, а), либо как замыкающий вектор треугольника скоростей (рис. 214, б).

При решении задач на определение скоростей наиболее удобно применять графо-аналитический способ (см. § 3 настоящего пособия).

Если применяется правило параллелограмма, то модуль абсолютной скорости определяется по формуле, выведенной из теоремы косинусов
(2) v_абс = sqrt(v_отн² + v_пер² + 2v_отнv_перcos α).

Если применяется правило треугольника, то модуль абсолютной скорости определяется по теореме синусов.

Направление абсолютной скорости по отношению к v_пер или v_отн можно найти также при помощи теоремы синусов.

В частном случае, когда параллелограмм скоростей превращается в прямоугольник или когда треугольник скоростей получается прямоугольным, для решения задачи используются тригонометрические функции и теорема Пифагора (см. ниже задачи 181, 182, 185).

Если в частном случае v_пер=v_отн, то при геометрическом сложении таких скоростей образуется ромб (рис. 215, а) или равнобедренный треугольник (рис. 215, б), тогда
(3) v_абс = 2v_перcos α/2 = 2v_отнcos α/2.

Задача 181. Вертикально падающие капли дождя оставляют на боковых стеклах автомобиля полосы под углом α=31° к вертикали. Скорость движения автомобиля...

Задача 182. От одного берега реки к другому плывет лодка, держа курс перпендикулярно к берегам. Ширина реки 800 м; лодка достигает противоположного берега...

Задача 184. Трассы двух воздушных лайнеров пересекаются над поселком А. Первый лайнер летит точно на север, второй лайнер – на юго-восток. Скорости...

Задача 185. В кривошипно-кулисном механизме с поступательно движущейся кулисой ВС, кривошип OA (расположенный позади кулисы) длиной l=400 мм вращается...

§ 38. Плоскопараллельное движение тела

Сложное плоскопараллельное движение твердого тела составляется из поступательного и вращательного движений (см. § 70 в учебнике Е. М. Никитина). Это свойство является основой первого способа определения скорости любой точки тела, находящегося в плоскопараллельном движении.

1. Поступательная часть плоскопараллельного движения принимается за переносное и зависит от движения какой-либо произвольно выбранной точки, называемой полюсом. За полюс принимают всегда ту точку, скорость которой в данный момент известна. Если движение является только поступательным, то все точки тела, в том числе и точка А (рис. 222, а), имеют ту же скорость, что и полюс О.

2. Вращательная часть плоскопараллельного движения вокруг выбранного полюса принимается за относительное.

Если движение тела является только вращательным, то точка А совершает движение по окружности с центром в полюсе О со скоростью
v_AO = ωρ,
где ω – угловая скорость плоского сечения тела, в котором расположена данная точка A;
ρ=OA – расстояние от полюса до точки A (рис. 222, б).

3. Абсолютная скорость v_A точки А равна геометрической сумме переносной скорости полюса v_O и ее относительной скорости v_AO вокруг полюса O (рис. 222, в). Таким образом, абсолютная скорость определяется либо при помощи правила параллелограмма, либо правила треугольника (см. выше § 37).

Второй способ определения скорости любой точки тела при его плоскопараллельном движении основан на использовании в качестве полюса мгновенного центра скоростей.

1. Как известно (§ 72 в учебнике Е. М. Никитина), мгновенным центром скоростей называется расположенная в плоскости сечения точка, абсолютная скорость которой в данный момент равняется нулю.

2. Если за полюс принять мгновенный центр скоростей, то в этот момент переносные (поступательные) скорости всех точек тела равны нулю и абсолютная скорость любой точки определяется по формуле
v = ωρ,
где ω – угловая скорость плоского сечения, которая не зависит от выбора полюса;
ρ – расстояние от мгновенного центра скоростей С до данной точки (рис. 223).

Для скоростей любых точек сечения имеем зависимость
v_A/ρ_A = v_B/ρ_B = v_D/ρ_D = ... = ω.

В приведенных решениях задач показаны оба способа. При самостоятельном решении задач можно использовать любой из двух.

При решении некоторых задач оказывается целесообразным использовать теорему о равенстве между собой проекций скоростей двух точек плоского сечения на прямую, соединяющую эти точки (Е. М. Никитин, § 71).

Задача 188. Стержень AB двигается в плоскости чертежа. В момент, когда стержень занимает горизонтальное положение (рис. 224, а), скорость его точки...

При решении подобных задач иногда приходится выполнять довольно много промежуточных вычислений. Их можно избежать, если решить задачу графическим методом, но с приближенным результатом.

Поясним это на примере следующей задачи.

Задача 189. Кривошип OA=r=40 см кривошипно-шатунного механизма (рис. 225, а) вращается с угловой скоростью ω=25 рад/сек. Длина шатуна, приводящего...

Задача 190. Колесо катится без скольжения по горизонтальной плоскости, причем ось колеса перемещается равномерно со скоростью v₀=5 м/сек. Определить...

Задача 191. Две параллельные рейки (рис. 229, а) движутся в противоположные стороны с постоянными скоростями v₁=8 м/сек и v₂=2...